扩散过程时依赖边界越界概率的可导性分析

Vincent Liang; Konstantin Borovkov

扩散过程时依赖边界越界概率的可导性分析

概率论 2024-08-21 v3

作者: Vincent Liang , Konstantin Borovkov

摘要

本文分析了广义时非齐次扩散过程在给定时间范围内的边界越界概率 $F(g)$ 相对于边界 $g$ 的扰动敏感性。我们证明，对于 $g \in C^2$ 的边界，该概率在方向 $h \in H \cup C^2$ 上具有 Gâteaux 可导性，在方向 $h \in H$ 上具有 Fréchet 可导性，其中 $H$ 为 Cameron--Martin 空间，并给出该导数的紧凑表示。我们的结果允许使用与 $g$ 接近的边界 $\bar{g}$ 来近似 $F(g)$ ，而这些边界 $\bar{g}$ 的计算是可行的。我们还获得了在概率论和 PDE 理论中均具独立价值的辅助结果，包括：(i) 当过程在时空域中的点 $(t,x)$ 开始且 $x \uparrow g(t)$ 时，边界越界概率相对于 $x$ 的导数的优雅概率表示；(ii) 对于时依赖边界的边界非越界事件指示器的 Shiryaev--Yor 类型鞅表示。

关键词

扩散过程边界越界概率 Gâteaux 导数 Fréchet 导数 Cameron-Martin 空间时依赖边界鞅表示

引用

@article{arxiv.2401.16787,
  title  = {On time-dependent boundary crossing probabilities of diffusion processes as differentiable functionals of the boundary},
  author = {Vincent Liang and Konstantin Borovkov},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2401.16787},
  year   = {2024}
}

备注

38 pages, 4 figures. In this version: added Theorem 4 proving that F(g) is H-differentiable; added Theorem 5 on the error asymptotics in case of piece-wise linear approximating boundary; restored the proof of Theorem 2; added Example 3 to illustrate Theorem 3 (hyperbolic diffusion); added Example 4 to illustrate Theorem 5 (Brownian motion process and the Daniels boundary)

扩散过程时依赖边界越界概率的可导性分析

摘要

关键词

引用

备注

相关论文