论 Yang-Mills 的热力学与紫外稳定性

我们在虚时泛函积分表述中，证明了纯 Yang-Mills 相对论量子理论的紫外稳定界。我们考虑规范群 $\mathcal G={\rm U}(N)$、${\rm SU}(N)$，并令 $d(N)$ 表示它们的李代数维数。我们从有限超立方格 $\Lambda\subset a\mathbb Z^d$（$d=2,3,4$，$a\in(0,1]$，每边 $L$ 个格点，且采用自由边界条件）出发。使用 Wilson 配分函数 $Z_{\Lambda,a}\equiv Z_{\Lambda,a,g^2,d}$，其中作用量为规范不变的 plaquette 作用量之和，带有一个前置因子 $[a^{d-4}/g^2]$，其中 $g^2\in(0,g_0^2]$，$0<g_0<\infty$，定义了规范耦合。通过审慎选择规范固定，即规范掉属于 $\Lambda$ 中一棵极大树的键变量，且不改变 $Z_{\Lambda,a}$ 的值，我们仅保留 $\Lambda_r$ 个键变量，当 $L$ 较大时其数量级为 $[(d-1)L^d]$。我们证明归一化配分函数 $Z^n_{\Lambda,a}=(a^{(d-4)}/g^2)^{d(N)\Lambda_r/2}Z_{\Lambda,a}$ 满足稳定性界 $e^{c_\ell d(N)\Lambda_r}\leq Z^n_{\Lambda,a}\leq e^{c_ud(N)\Lambda_r}$，其中有限的 $c_\ell,\,c_u\in\mathbb R$ 与 $L$、格距 $a$ 和 $g^2$ 无关。换言之，我们提取了有限格自由能的{\em 精确}奇异行为。对于归一化自由能 $f^n=[d(N)\,\Lambda_r]^{-1}\,\ln Z^n_{\Lambda,a}$，我们的稳定性界意味着，至少在子序列的意义上，存在有限的 $\Lambda\nearrow a\mathbb Z^d$ 热力学极限。随后，$a\searrow 0$ 的连续统极限也存在。