关于 $1/p$ 数字的方差

设 $p>3$ 为素数，$b\ge 2$ 为整数且 $p$ 不整除 $b$。则 $1/p$ 在基底 $b$ 下具有周期性数字展开。周期长度 $q$ 为 $b$ 模 $p$ 的（乘法）阶。在 $q=p-1$ 的情形下，先前已给出了一个关于一个周期内数字方差的公式。该公式涉及一个 Dedekind 和。我们确定了 $q=(p-1)/2$ 情形下的方差。若 $p\equiv 3$ mod 4，相应的公式中会出现 Dedekind 和与 $\mathbb Q(\sqrt{-p})$ 的类数。若 $p\equiv 1$ mod 4，该公式可能要复杂得多，因为它涉及关联于奇特征的两个 Bernoulli 数乘积的（可能大量的）线性组合。