非整数基下的Midy定理与斐波那契数的整除性
数论
2026-05-27 v2 组合数学
摘要
分母为素数q且属于区间[0,1)的分数p/q，当以十进制书写时具有一个由Midy定理描述的奇特性质，即若其循环节长度为偶数2n，则该循环节的两半之和为10ⁿ-1。已有若干结果将Midy定理推广至不同整数基下p/q的展开，考虑非素数分母，或将循环节划分为多于两部分。我们证明，即使在Rényi引入的非整数基记数系统的背景下，类似的现象也可被研究。首先，我们为一般实数基β>1定义了Midy性质，并推导出Midy性质成立的必要条件。对于β=(1+√5)/2，我们刻画了满足该性质的素数分母q。
引用
@article{arxiv.2401.03874,
title = {Midy's Theorem in non-integer bases and divisibility of Fibonacci numbers},
author = {Zuzana Masáková and Edita Pelantová},
journal= {arXiv preprint arXiv:2401.03874},
year = {2026}
}