临界带内Epstein zeta函数的值分布

我们研究了Epstein zeta函数$E_n(L,s)$在$0<s<\frac{n}{2}$及大维数$n$随机格$L$下的值分布。对于任意固定的$c\in(1/4,1/2)$及$n\to\infty$，我们证明了随机变量$V_n^{-2c}E_n(\cdot,cn)$具有一个极限分布，并明确给出了该分布（这里$V_n$是$n$维单位球的体积）。更一般地，对于任意固定的$\ve>0$，我们确定了随机函数$c\mapsto V_n^{-2c}E_n(\cdot,cn)$，$c\in[1/4 +\ve, 1/2-\ve]$的极限分布。在补偿了$c=\frac12$处的极点后，我们甚至在整个区间$[\frac14+\ve,\frac12]$上得到了一个极限结果，并作为特例推导出以下对Sarnak和Strömbergsson关于平坦环面$\R^n/L$的高度函数$h_n(L)$结果的加强：随机变量$n\big\{h_n(L)-(\log(4\pi)-\gamma+1)\big\}+\log n$在$n\to\infty$时具有一个极限分布，我们明确给出了该分布。最后，我们讨论了Sarnak和Strömbergsson提出的一个问题：是否存在一个格$L\subset\R^n$，使得$E_n(L,s)$在$(0,\infty)$中没有零点。