论 HSL 数的上半连续性

设 $B$ 为特征 $p$ 域上的仿射 Cohen-Macaulay 代数。对于每个素理想 $\mathfrak{p}\subset B$，令 $\text{H}_\mathfrak{p}$ 表示 $H^{\dim B_\mathfrak{p}}_{\mathfrak{p} B_\mathfrak{p}}\left( \widehat{B_\mathfrak{p}} \right)$。每个这样的 $\text{H}_\mathfrak{p}$ 都是一个赋予自然 Frobenius 映射 $\Theta$ 的 Artin 模，若 $\text{Nil}(\text{H}_\mathfrak{p})$ 表示 $\text{H}_\mathfrak{p}$ 中所有被 $\Theta$ 的某次幂零化的元素集合，则 Hartshorne-Speiser 和 Lyubeznik 的定理表明存在一个 $e\geq 0$ 使得 $\Theta^e \text{Nil}(\text{H}_\mathfrak{p})=0$。最小的此类 $e$ 即为 $\text{H}_\mathfrak{p}$ 的 HSL 数，记为 $\text{HSL}(\text{H}_\mathfrak{p})$。本文的主要定理表明，对于所有 $e>0$，集合 $\{ \mathfrak{p}\in\text{Spec} (B) \,|\, \text{HSL}(\text{H}_\mathfrak{p}) < e \}$ 是 Zariski 开集，因此 HSL 是上半连续的。该结果的一个应用是为计算 Cohen-Macaulay 环中参数理想的 Frobenius 闭包提供了全局测试指数。