关于凸体的辛黏性容量与均值宽度

本文考察了两个涉及 $\mathbb{R}^{2n}$ 中凸体辛黏性容量与均值宽度关系的议题。首先，我们描述了从Artstein-Avidan和Ostrover提出的辛Brunn-Minkowski不等式出发，引申至同一作者所建立的关联容量与均值宽度的不等式的另一条路径。这种新路径虽不如直接路径清晰，但将这些不等式与凸体的 quermassintegrals 以及Abbondandolo和Benedetti在靠近球体的域上所建立的局部维特博猜想的结果联系起来。随后，我们考虑识别其均值宽度无法被自然类辛同构映射所降低的凸体的问题。我们提出了一种关于其均值宽度在所有辛像像中已最小化的凸体的猜想 characterization。为测试此猜想，我们识别了一类二次凸体，其均值宽度无法被靠近恒等式的线性辛同构映射所降低。随后，我们识别出其中一部分示例未满足猜想中的 toric 条件，并展示了可以找到非线性辛同构以降低其均值宽度。