关于 $\mathrm{PSL}_2 (\mathbb{Z} {[i]}) \backslash \mathrm{PSL}_2 (\mathbb{C}) $ 上的对称平方大型筛选及 $\mathrm{PSL}_2 (\mathbb{Z} {[i]}) \backslash \mathbb{H}^3 $ 上的素数测地线定理

本文改进了 Picard 流形 $\mathrm{PSL}_2 (\mathbb{Z} {[i]}) \backslash \mathbb{H}^3$ 上素数测地线定理的误差项。我们不直接处理 $\mathrm{PSL}_2 (\mathbb{Z} {[i]}) \backslash \mathbb{H}^3$，而是在 $\mathrm{PSL}_2 (\mathbb{Z} {[i]}) \backslash \mathrm{PSL}_2 (\mathbb{C})$ 上建立对称平方的谱大型筛选不等式。这使得我们将 Balkanova 和 Frolenkov 对于 $\mathrm{PSL}_2 (\mathbb{Z} {[i]}) \backslash \mathbb{H}^3$ 上对称平方 $L$ 函数第二矩界从 $O (T^{3+2/3+\varepsilon})$ 改进为 $O (T^{3+1/2+\varepsilon})$。基本思想是将 $\mathrm{PSL}_2 (\mathbb{Z} {[i]}) \backslash \mathbb{H}^3$ 上 Maass cusp 形式的球面族 $\Pi_c^{0} (T)$ 扩大为 $\mathrm{PSL}_2 (\mathbb{Z} {[i]}) \backslash \mathrm{PSL}_2 (\mathbb{C})$ 上 cusp 表示族 $\Pi_c (T, \sqrt{T})$。