关于秩一Gallagherian素数测地定理的改进

作者在其近期研究中改进了紧致、偶维、秩一局部对称空间的素数测地定理中的误差项。所得估计$O(x^{2\rho-\frac{\rho}{n}}(\log x)^{-1})$与紧致黎曼曲面、三维流形以及带尖点流形上的已知最佳结果一致，其中$n$表示空间维数，$\rho$为正根半和。上述界随后在Gallagherian意义下被改进为$O(x^{2\rho-\rho\frac{2\cdot(2n)+1}{2n\cdot(2n)+1}}(\log x)^{\frac{n-1}{2n\cdot(2n)+1}-1}(\log\log x)^{\frac{n-1}{2n\cdot(2n)+1}+\varepsilon})$，其中$\varepsilon$ $>$ $0$，且计数函数$\psi_{2n}(x)$起关键作用。本研究的目的是证明后一$O$项可进一步减小。为此，我们推导了函数$\psi_{j}(x)$（$j$ $\geq$ $n$）的新显式公式，以及$\psi_{n-1}(x)$的条件公式。应用Gallagher-Koyama技巧，我们推导出$\psi_{0}(x)$的渐近式及Gallagherian素数测地定理。所得误差项$O(x^{2\rho-\rho\frac{2j+1}{2nj+1}}(\log x)^{\frac{n-1}{2nj+1}-1}(\log\log x)^{\frac{n-1}{2nj+1}+\varepsilon})$（$n-1$ $\leq$ $j$ $<$ $2n$）改进了上述$O$项，其最优无条件（条件）规模在$j$ $=$ $n$（$j$ $=$ $n-1$）时达到。若$j$ $=$ $n$ $\geq$ $4$，我们的新界与带尖点流形情形下的已知最佳估计一致。若$j$ $=$ $n-1$，该$O$项与黎曼曲面情形（$n$ $=$ $2$，$\rho$ $=$ $\frac{1}{2}(n-1)$ $=$ $\frac{1}{2}$）及三维流形情形（$n$ $=$ $2$，$\rho$ $=$ $1$）的结果完全吻合。最后，对于$j$ $=$ $n-1$，$n$ $\geq$ $4$，我们的结果改进了带尖点流形情形下的已知最佳界。