关于算术函数均值瓦勒菲什型误差项估计

Walfisz（1963）证明了渐近公式 $$\sum_{n\le x}\varphi(n) = \frac{3}{\pi^2}x^2+O(x(\log x)^{\frac{2}{3}}(\log\log x)^{\frac{4}{3}}),$$ 改进了 Mertens（1874）的误差项估计，并且在五十多年里一直是最佳估计。最近，H.-Q. Liu（2016）将 Walfisz 的误差项估计改进为 $$\sum_{n\le x}\varphi(n) = \frac{3}{\pi^2}x^2+O(x(\log x)^{\frac{2}{3}}(\log\log x)^{\frac{1}{3}}).$$ 我们将 Liu 的结果推广到某类算术函数，并改进了 Balakrishnan 和 Pétemann（1996）的结果。为此，我们给出了 Vinogradov 组合分解的一个精炼版本，适用于更广的一类积性函数。