关于带权图的 Ricci 曲率之和

本文将 Lin-Lu-Yau 的 Ricci 曲率推广到带权图并给出简单的无极限定义。我们证明关于带权图 Ricci 曲率之和的两个极值结果。带权图 $G=(V,E,d)$ 是一个无向图 $G=(V,E)$ 连同距离函数 $d\colon E\to [0,\infty)$。通过必要时重定义权值，不失一般性，我们假设对任意边 $uv$， $u$ 与 $v$ 之间的最短带权距离恰为 $d(u,v)$。现考虑一随机游走，其从顶点 $u$ 到邻点 $v$（沿边 $uv$ 的跳跃）的转移概率正比于 $w_{uv}:=F(d(u,v))/d(u,v)$，其中 $F(\bullet)$ 为给定函数。我们首先将 Lin-Lu-Yau 的 Ricci 曲率定义推广到该带权图，并利用所谓的 $\ast$-耦合函数给出 $\kappa(x, y)$ 的简单无极限表示。总曲率 $K(G)$ 定义为 $G$ 所有边上 Ricci 曲率之和。我们证明如下定理：若 $F(\bullet)$ 为递减函数，则 $K(G)\geq 2|V| -2|E|$；若 $F(\bullet)$ 为递增函数，则 $K(G)\leq 2|V| -2|E|$。两等式成立的充要条件是 $d$ 为常值函数且围长至少为 $6$。特别地，这些蕴含了围长至少为 $6$ 的（非带权）图的一个 Gauss-Bonnet 定理，其中图的 Ricci 曲率按最优传输几何地定义。