随机几何图的总获取数

设 $G$ 为一个图，其中每个顶点的初始权重为 1。在每一步中，只要顶点 $v$ 上的权重至少与顶点 $u$ 上的权重一样大，就可以将权重从顶点 $u$ 移动到相邻顶点 $v$。图 $G$ 的总获取数记为 $a_t(G)$，是在该过程结束时具有正权重的顶点集合的最小基数。本文研究随机几何图 $G(n,r)$，其中 $n$ 个顶点均匀随机分布在 $[0,\sqrt{n}]^2$ 中，当且仅当两个顶点之间的距离至多为 $r$ 时它们相邻。我们证明，对于满足 $r \lg r \le \sqrt{n}$ 的整个 $r=r_n \ge 1$ 范围，渐近几乎必然有 $a_t(G(n,r)) = \Theta( n / (r \lg r)^2)$。由单调性可知，当 $r < 1$ 时，渐近几乎必然有 $a_t(G(n,r)) = \Theta(n)$；当 $r \lg r > \sqrt{n}$ 时，渐近几乎必然有 $a_t(G(n,r)) = \Theta(1)$。