关于高阶水平素数探测准模ular形式的结构

Craig、van Ittersum 以及 Ono conjectured that 每个水平为1的素数探测准模ular形式都是准模ular Eisenstein 系列。该猜测由 Kane--Krishnamoorthy--Lau 以及 van Ittersum--Mauth--Ono--Singh 独立地得到了证明。然而，在更高的水平上，素数探测准模ular形式不必是 Eisenstein。最近，Kane、Krishnamoorthy 以及 Lau 提出了一个自然的更高水平模仿上述猜测的版本，并通过分析方法给出了证明。从另一个方向，通过基于 $\ell$-adic Galois 表示字符独立性的替代方法，我们证明了任何在 $\Gamma_{0}(N)$ 上的素数探测准模ular形式属于准模ular Eisenstein 系列与准模ular oldform 的直接和。此外，对于一个非素数探测的准模ular形式 $f$，我们给出了一个上界，用于估计小于 $X$ 的素数个数 $p$，使得该素数的第 $p$ 个傅里叶系数为零。