具有整数傅里叶系数的深度为 1 的归一化极值拟模形式的判定

本文的主要目标是判定所有傅里叶系数为整数的深度为 1 的归一化极值拟模形式。通过将无穷远处的局部参数从 $q=e^{2\pi i \tau}$ 改为椭圆模 $j$-函数的倒数，我们证明了所有深度为 1 的归一化极值拟模形式都具有超几何级数表达式，且整数性不受此参数改变的影响。此外，通过将这些超几何级数表达式转化为与 Atkin（类）多项式相关的某种易处理形式，并利用 Dwork 与 Zudilin 在 $p$-进超几何级数研究中出现的引理，该整数性问题可归结为某个多项式模素数幂为零这一事实，我们对此予以证明。我们还通过聚焦于深度为 1 极值拟模形式的超几何表达式，证明了所有具有依赖于权重的适当首项系数的深度为 1 极值拟模形式都具有整数傅里叶系数。