关于复单位球到有界对称域的全纯等距嵌入的结构

我们研究复单位球 $\mathbb B^n$ 到秩 $\ge 2$ 的有界对称域的全纯等距嵌入的一般性质。在第一部分，我们研究从 $(\mathbb B^n,kg_{\mathbb B^n})$ 到 $(\Omega,g_\Omega)$ 的具有非极小等距常数 $k$ 的全纯等距映射，其中 $\Omega$ 为任意秩 $\ge 2$ 的不可约有界对称域，$g_D$ 表示任意不可约有界对称域 $D$ 上的典范 K"ahler-Einstein 度量，其归一化使得 $D$ 的极小圆盘具有常高斯曲率 $-2$。特别地，获得了关于 $\Omega$ 中等距嵌入的 $\mathbb B^n$ 的维数上界以及此类全纯等距映射的像的结构的结果。在第二部分，我们研究从 $(\mathbb B^n,g_{\mathbb B^n})$ 到 $(\Omega,g_\Omega)$ 的全纯等距映射，其中 $\Omega\Subset \mathbb C^N$ 为秩等于 $2$ 且满足 $2N>N'+1$ 的任意不可约有界对称域，$N'$ 为一整数使得 $\iota:X_c\hookrightarrow \mathbb P^{N'}$ 是 $\Omega$ 的紧对偶 Hermite 对称空间 $X_c$ 的极小嵌入（即第一典范嵌入）。对于 $1\le n \le n_0(\Omega)$（其中 $n_0(\Omega):=2N-N'>1$），我们完全分类了从 $(\mathbb B^n,g_{\mathbb B^n})$ 到 $(\Omega,g_\Omega)$ 的所有全纯等距映射的像。特别地，对于 $1\le n \le n_0(\Omega)-1$，我们证明从 $(\mathbb B^n,g_{\mathbb B^n})$ 到 $(\Omega,g_\Omega)$ 的任意全纯等距映射可延拓为某个从 $(\mathbb B^{n_0(\Omega)},g_{\mathbb B^{n_0(\Omega)}})$ 到 $(\Omega,g_\Omega)$ 的全纯等距映射。