论时空的光线空间及 Low 的重构定理

本文讨论了基于给定时空的光线空间和天空空间（spaces of skies）上的拓扑与几何结构的重构定理。该结果可视为 Penrose 和 Low 计划的一部分，旨在用光线空间（即无参数化的类时零测地线 $\mathcal{N}$）的拓扑和几何性质来描述时空 $M$ 的因果结构。在重构问题的分析中，天空空间（即光线汇）的结构变得至关重要。我们将证明，强因果且区分天空的时空 $M$ 的天空空间 $\Sigma$ 具有典范微分结构，且微分同胚于原流形 $M$。天体曲线（celestial curves），即 $\mathcal{N}$ 中处处与天空相切的曲线，在光线空间几何分析中起着根本作用。我们将证明，当且仅当其定义的 Legendre 同伦是非负的时，天体曲线才由事件的过去因果曲线诱导。这一结果以非平凡的方式扩展了 Chernov 等人关于 Low 的 Legendre 猜想的近期结果。最后，我们将证明，两个强因果空间的光线空间之间的天体因果映射（前提是目标空间无非共轭零测地线）必然由共形浸入诱导，反之亦然。这些结果明确揭示了天空集合（相对于 $\mathcal{N}$ 上典范接触结构的一组 Legendre 球）在刻画时空因果结构中所起的根本作用。