关于奇异平面 Plateau 问题

给定任意 $\Gamma=\gamma(\mathbb{S}^1)\subset\mathbb{R}^2$，即 Lipschitz 曲线 $\gamma:\mathbb{S}^1\rightarrow \mathbb{R}^2$ 的像（不必是单射），我们提供了一个显式公式来计算 $$\mathcal A(\gamma):=\inf\left\{\left. \int_{B_1(0)}|\mathrm{det}(\nabla u)| \mathrm{d} x \ \right| \ u=\gamma \text{ on }\mathbb{S}^1\right\},$$ 其中下确界是在所有具有边界数据 $\gamma$ 的 Lipschitz 映射 $u:B_1(0)\rightarrow \mathbb{R}^2$ 中评估的。这与跨越 $\Gamma$ 的极小圆盘面积一致，即定向轮廓 $\Gamma$ 的圆盘型 Plateau 问题的解。结果的新颖之处在于我们不假设曲线 $\gamma$ 是单射，且我们的公式允许任何形式的自相交。