扩散过程及其运行极小值或极大值的奇异控制

我们研究了一类单维扩散过程的奇异随机控制问题，其中需优化的准则明确依赖于受控过程的运行极小值I或极大值S。我们引入两种新型积分算子，符合相应二维奇异控制问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。第一种算子涉及积分，其中积分子为二维过程$(X,I)$或$(X,S)$的控制过程；第二种算子涉及积分，其中积分子为运行极小值或极大值过程本身。通过这些定义，我们证明了针对包含二维状态相关运行成本、控制过程成本、增加运行极小值(或极大值)成本以及退出时间成本的优化问题的通用验证定理。最后，我们将结果应用于求解一个最优分红问题，其中经理的时间偏好取决于公司历史上最差的业绩。