扩散过程的单调跟随者问题解析

我们考虑一个奇异随机控制问题，称为单调跟随者随机控制问题，并给出局部时间型最优控制存在且唯一的充分条件。为建立该结果，我们使用了一种未曾用于求解奇异控制问题的方法论。我们首先将自己限于局部时间策略。然后我们对在给定边界处反射扩散所累积的总回报施加变换，并证明它在其继续区域中是线性的。于是，寻找最优边界的问题变成一个非线性优化问题：线性函数的斜率与一个障碍函数需要同时被最大化。最优性的必要条件来自一阶导条件。我们证明在一些弱假设下这些条件成为充分的。我们还证明局部时间策略在所有单调递增控制类中是最优的。作为我们分析的一个副产品，我们给出了值函数在其整个定义域上为 $\mathbf{C}^2$ 的充分条件。我们求解了两个分红支付问题以表明我们的充分条件被主流文献中所考虑的例子的满足。我们表明我们的假设不仅在公司资本由带漂移的 Brownian 运动建模时成立，而且当我们改变建模假设并使用平方根过程来建模资本时也成立。