具有仅可测漂移项的随机微分方程的最优控制：一种 HJB 方法

我们研究了一个扩散过程的最优控制问题，其漂移项和运行成本关于状态变量仅为可测的。如此低的正则性排除了庞特里亚金极大值原理的使用，也使贝尔曼最优性原理的标准证明失效。我们通过分析相关的哈密顿-雅可比-贝尔曼 (HJB) 方程来解决这些困难。利用偏微分方程 (PDE) 技术和策略迭代方案，我们证明了 HJB 方程存在唯一的强解，且该解与控制问题的值函数一致。基于这一识别，我们在不施加任何额外光滑性假设的情况下，建立了一个验证定理并恢复了贝尔曼最优性原理。我们进一步研究了一个依赖于参数 $\varepsilon > 0$ 的磨光方案。结果表明，当 $\varepsilon \to 0$ 时，磨光后的值函数 $V_{\varepsilon}$ 可能无法收敛到原始值函数 $V$，我们提供了一个明确的反例。为了解决这个问题，我们确定了控制集上的一个结构性条件。当控制集可数时，收敛性 $V_{\varepsilon} \to V$ 局部一致成立。