关于平面上 Hessian 可积性尖峰猜想

我们证明，若 $u\in C^0(B_1)$ 在 $B_1\subset \mathbb{R}^2$ 中以粘性意义满足 $F(x,D^2u) \le 0$，其中 $F$ 为某个完全非线性 $(\lambda, \Lambda)$-椭圆算子，则对锐指数 $\varepsilon = \varepsilon(\lambda, \Lambda)$ 有 $u \in W^{2,\varepsilon}(B_{1/2})$，并带有相应估计，该指数满足 $$\frac{1.629}{\frac{\Lambda}{\lambda} + 1} < \varepsilon(\lambda, \Lambda) \le \frac{2}{\frac{\Lambda}{\lambda} + 1},$$ 当 $\frac{\lambda}{\Lambda} \to 0$ 时一致成立。这与 Armstrong-Silvestre-Smart 猜想密切相关，该猜想见于 [Comm. Pure Appl. Math. 65 (2012), no. 8, 1169--1184]，其中假定上界为最优。