条件收敛级数的极限点集

设 $\sum_{n=1}^\infty x_n$ 为 Banach 空间中的条件收敛级数，$\tau$ 为自然数的一个排列。我们研究集合 $\operatorname{LIM}(\sum_{n=1}^\infty x_{\tau(n)})$，即重排级数 $\sum_{n=1}^\infty x_{\tau(n)}$ 的部分和序列 $(\sum_{n=1}^p x_{\tau(n)})_{p=1}^\infty$ 的所有极限点的集合。我们给出了有限维空间中极限集的完整刻画。即在 $\mathbb{R}^m$ 中，极限集要么是紧且连通的，要么是闭的且其所有连通分支无界。另一方面，这两类集合中的任一集合都是某个重排条件收敛级数的极限集。此外，该刻画在无限维空间中不成立。我们证明，若 $\sum_{n=1}^\infty x_n$ 具有重排性质(Rearrangement Property)，且 $A$ 是 $\sum_{n=1}^\infty x_n$ 和范围(sum range)闭包的一个闭子集，且对每 $\varepsilon>0$ 是 $\varepsilon$-链连通的，则存在排列 $\tau$ 使得 $A=\operatorname{LIM}(\sum_{n=1}^\infty x_{\tau(n)})$。作为该观察的副产品，我们得到具有重排性质的级数具有闭的和范围。