网格图度量维数对添加单条边的鲁棒性
组合数学
2021-11-16 v2
摘要
图的度量维数（MD）是一个组合概念，刻画基于图距离区分图中每对节点所需的最少地标节点数。我们研究若向图中添加一条边，MD 最多可增加多少。所添边可对抗性地选取（此时我们关注 MD 可能取的最大值），或均匀随机选取（此时我们关注 MD 的分布）。对抗性设定已由 [Eroh et. al., 2015] 对一般图研究，其发现添加单边使 MD 翻倍的例子。通过构造不同例子，我们表明该增量可大至指数级。然而，我们认为如此大的增量仅出现在特殊构造的图中，且在多数有趣图族中，添加单边后 MD 至多翻倍。我们对 维网格图证明此结论：表明无论边加于何处， 个适当选取的角点与所添边的端点可区分每对节点。对 的特殊情形，我们表明选取四个角点为地标已足够。最后，当额外边均匀随机采样时，我们猜想二维网格的 MD 依概率收敛于 ，并给出近乎完整的证明。
引用
@article{arxiv.2010.11023,
title = {On the robustness of the metric dimension of grid graphs to adding a single edge},
author = {Satvik Mashkaria and Gergely Ódor and Patrick Thiran},
journal= {arXiv preprint arXiv:2010.11023},
year = {2021}
}