关于 Dyer-Lashof 代数与 hit 问题之间的关系

本札记旨在利用几何方法研究 Peterson 关于 $H_*\mathbb{R} P^{\times k}$ 的 hit 问题，以及 Janfada 和 Wood 关于 $H_*BO(k)$ 的对称 hit 问题。我们继续探索 \cite{Zare-symmetric} 中关于 $H_*QX$ 的 $\mathcal{A}$-湮灭生成元的结果的应用，以获得 $H_*(\mathbb{Z}\times BO)$ 和 $H_*BO$ 中 $\mathcal{A}$-湮灭的一族通用“新”例子，即稳定对称 hit 问题的情形，其中关键一步由 Bott 周期性所隐含的 $BO$ 上的无限环空间结构提供。应用长度过滤使得我们能在 $H_*BO(k)$ 的对称 hit 问题情形下表述结果。利用与 $\mathbb{R} P^{\times k}=BO(1)^{\times k}\to BO(k)$ 相关的 Becker-Gottlieb 转移，我们得以重新表述关于 $H_*\mathbb{R} P^{\times k}$ 经典 hit 问题的结果。我们使用短语“稳定 hit 问题”来指代对全体 $k>0$ 同时研究 $H_*\mathbb{R} P^{\times k}$ 的 hit 问题，这允许使用乘法结构，在此方面我们似乎在 \cite{Ault-Singer} 之后取得了一些新进展。我们的新例子依赖于特定的数值条件，我们在 \cite{Zare-symmetric} 中已给出构造这些条件的算法。方法上的结果是，在处理计数论证时也必须考虑此类条件。我们获得的数值条件在此背景下似乎未在文献中出现过，尽管它们可能包含先前的一些例子。因此，我们的工作提供了一族无限的新例子，从而提升了先前得到的下界。