关于带相关性Lévy因子仿射模型的可约性

本文致力于研究形式为 $$dR(t)=F(R(t)) dt +\sum_{i=1}^{d}G(R(t-))dZ_i(t)$$ 的短期利率方程,其中具有确定性函数 $F,G_1,...,G_d$ 和可能具有相关坐标的多元Lévy过程 $Z=(Z_1,...,Z_d)$。该方程被假设为具有非负解,可生成仿射期限结构模型。假设Lévy测度 $\nu$ 基于表示 $\mathbb{R}^d=S^{d-1}\times (0,+\infty)$ 的球形分解,其中 $S^{d-1}$ 表示单位球。则 $\nu(dy)=\lambda(d\xi)\times \gamma_{\xi}(dr)$,其中 $\lambda$ 是 $S^{d-1}$ 上的测度,而 $\gamma_{\xi}$ 是 $(0,+\infty)$ 上的测度。在球形分解的某些假设下,确定生成器的精确形式,并显示所得期限结构模型等价于由方程 $$d R(t)=(a R(t)+b) dt+C\cdot (R(t-))^{1/\alpha} dZ^{\alpha}(t), \quad R(0)=x,$$ 生成，其中 $a,b,C$ 为常数, $Z^{\alpha}$ 为一维 $\alpha$-稳定Lévy过程,其中 $\alpha\in(1,2)$。当 $\nu$ 拥有密度时的情况作为特殊情况进行考虑。该文推广了经典的Cox-Ingersoll-Ross(CIR)模型\cite{CIR}以及其扩展版本\cite{BarskiZabczykCIR}和\cite{BarskiZabczyk}的结果,后者其中 $Z$ 为一维Lévy过程。这为以\cite{DaiSingleton}和\cite{BarskiLochowski}为代表的仿射模型分类奠定了基础。