关于 Shiryaev-Roberts 扩散的拟平稳分布

我们考虑由方程 $dR_t^r=dt+\mu R_t^r dB_t$ 生成的扩散过程 $(R_t^r)_{t\ge0}$，其中 $R_0^r\triangleq r\ge0$ 固定，$\mu\neq0$ 给定，$(B_t)_{t\ge0}$ 是标准 Brown 运动。我们假设 $(R_t^r)_{t\ge0}$ 在 $\mathcal{S}_A^r\triangleq\inf\{t\ge0\colon R_t^r=A\}$ 处停止，其中 $A>0$ 预设，并获得了 $(R_t^r)_{t\ge0}$ 的拟平稳分布的闭式公式，即极限 $Q_A(x)\triangleq\lim_{t\to+\infty}\Pr(R_t^r\le x|\mathcal{S}_A^r>t)$，$x\in[0,A]$。此外，我们还证明了对于任意 $A>0$，$Q_A(x)$ 是单峰的，并获得了其完整的矩级数。更重要的是，对于 $r\ge0$ 和 $A>0$，对偶 $(\mathcal{S}_A^r,R_t^r)$ 是著名的广义 Shiryaev-Roberts 变点检测程序，其对于 $r\sim Q_A(x)$ 的特性引起了特别的兴趣，尤其是当 $A>0$ 较大时。鉴于此情况，我们提供了一个对所有 $x\in[0,A]$ 均有效的 $Q_A(x)$ 的三阶大 $A$ 渐近近似。即使 $A$ 低于实践中被认为是“大”的值，该近似也相当准确。