关于凸集逆马尔可夫因子的精确形式

设 $K\subset \mathbb{C}$ 为凸紧致集合，记 $\Pi_n(K)$ 为所有零点均位于 $K$ 中的恰好次数为 $n$ 的多项式集合。Turán 类型逆马尔可夫因子定义为 $M_n(K)=\inf_{P\in \Pi_n(K)} \left(\|P'\|_{C(K)}/\|P\|_{C(K)}\right)$。由 Levenberg 和 Poletsky (2002) 以及 R\'ev\'esz (2006) 两项已知结果的组合，给出下界 $M_n(K)\ge c\left(wn/d^2+\sqrt{n}/d\right)$，其中 $d>0$ 为 $K$ 的直径，$w\ge 0$ 为最小宽度（两个平行线之间的最小距离，这两个平行线夹住了 $K$）。我们证明该下界在本质上是尖锐的，即 $M_n(K)\le 28\left(wn/d^2+\sqrt{n}/d\right)$ 对所有 $n,w,d$ 均成立。