平面上凸域的右阶 Turan 型逆 Markov 不等式

对于复平面中的凸域 $K$,著名的 Bernstein-Markov 一般不等式成立,断言次数为 $n$ 的多项式 $p$ 必有 $||p'|| < c(K) n^2 ||p||$。另一方面,对于一般多项式,$||p'||$ 相对于 $||p||$ 可以任意小。当我们假定所讨论的多项式其所有零点都在凸体 $K$ 中时,情况发生改变。这首先由 Turán 研究,他给出了单位圆盘 $D$ 的下界 $||p'|| \ge (n/2) ||p||$ 以及单位区间 $I:=[-1,1]$ 的下界 $||p'|| > c \sqrt{n} ||p||$。尽管部分结果给出了低阶的一般下估计,以及具有 $n$ 阶下界的某些域类,但一般凸域在此可能容许的阶的量级并不清楚。这里我们证明:对所有具有非空内部的紧凸域 $K$ 以及所有零点在 $K$ 中的多项式 $p$,有 $||p'|| > c(K) n ||p||$ 成立,而对任意 $K$ 有 $||p'|| < C(K) n ||p||$。实际上,我们在绝对数值常数因子范围内确定了 $c(K)$ 与 $C(K)$。