论阿贝尔簇的皮卡数

我们研究给定维数 $g$ 的阿贝尔簇的可能皮卡数。若 $R_g$ 表示可实现的皮卡数集合，则 $R_g$ 以 $g^2$ 为界。我们证明，对于至少为 $3$ 的 $g$，集合 $R_g$ 总是存在间隙，并分析了这些间隙的性质。我们进一步证明，当 $g$ 趋于无穷时，皮卡数在 $[1,g^2]$ 中是渐近完备的。最后，我们证明每一个可在复数域上实现的皮卡数，已经可以由定义在数域上的阿贝尔簇实现。