关于 $ax+by = cw^mz^n$ 的分割正则性

Csikvári、Gyarmati 和 Sárközy 证明了方程 $x+y = z^2$ 在 $\mathbb{N}$ 上不是分割正则（PR）的，并问方程 $x+y = wz$ 在 $\mathbb{N}$ 上是否 PR。Bergelson 和 Hindman 各自独立地给出了肯定回答。我们通过给出使方程 $ax+by = cw^mz^n$ 在 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 上 PR 的 $a,b,c \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 与 $m,n \in \mathbb{N}$ 的部分分类来推广该结果。我们证明若 $m,n \ge 2$，则 $ax+by = cw^mz^n$ 在 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 上 PR 当且仅当 $a+b = 0$。接着，我们证明若 $n$ 为奇数，则方程 $ax+by = cwz^n$ 在 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 上 PR 当且仅当 $\frac{a}{c}, \frac{b}{c},$ 或 $\frac{a+b}{c}$ 之一是 $\mathbb{Q}$ 中的 $n$ 次幂。我们近乎给出了偶数 $n$ 时方程 $ax+by = cwz^n$ 在 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 上分割正则性的类似刻画，并考察了一些分割正则性未知的方程，如 $16x+17y = wz^8$。为证明对某些 $a,b,c,$ 和 $n$ 值方程 $ax+by = cwz^n$ 在 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 上不 PR，我们证明了 Grunwald 与 Wang 关于 $\alpha \in \mathbb{Z}$ 在模每个素数 $p$ 下为 $n$ 次幂的判据的部分推广。具体地，我们证明对任意奇数 $n$ 及任意非 $n$ 次幂的 $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{Q}$，存在无穷多个素数 $p \in \mathbb{N}$ 使得 $\alpha,\beta,$ 和 $\gamma$ 均非模 $p$ 的 $n$ 次幂。类似地，我们证明对任意偶数 $n$ 及任意非 $\frac{n}{2}$ 次幂的 $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{Q}$（若 $4|n$ 则其中一个非 $\frac{n}{4}$ 次幂），存在无穷多个素数 $p \in \mathbb{N}$ 使得 $\alpha,\beta,$ 和 $\gamma$ 均非模 $p$ 的 $n$ 次幂。摘要部分内容在此省略。