关于高阶非Hermitian差分方程解的正交性

本文研究可写作以下形式的高阶差分方程：$$\mathbf{J} (y_0,y_1,...)^T = \lambda^N (y_0,y_1,...)^T,$$其中 $\mathbf{J}$ 为 $(2N+1)$ 带宽有界对角矩阵（$\mathbf{J}=(g_{m,n})_{m,n=0}^\infty$，$| g_{m,n} |< C$，$C>0$；且 $g_{k,l}=0$ 当 $|k-l|>N$），$y_j$ 为未知数，$\lambda$ 为复数参数，$N\in\mathbb{N}$。假设所有 $g_{k,k+N}$ 和 $g_{l-N,l}$ 均为非零。考虑两个特殊情况：\noindent \textit{情况A}：矩阵 $\mathbf{J}$ 为复数对称矩阵，即 $\mathbf{J} = \mathbf{J}^T$。\noindent \textit{情况B}：矩阵 $\mathbf{J}$ 满足 $g_{k,k+N}=1$，$k=0,1,2,...$。注意到该条件可通过改变 $y_j$ 的倍数来实现。在两种情况下，都存在一个在复平面上圆周上的正矩阵测度 $M$，使得多项式解满足某些正交关系。具体而言，情况A涉及 Hilbert 空间 $L^2(M)$ 中的 $J$ 正交性（$J$ 为复共轭）。情况B中我们得到的是 $L^2(M)$ 中的左 $J$ 正交性。作为工具，本文研究了相关的矩阵矩问题。讨论了自由Jacobi矩阵的复秩一扰动。