关于 SQS 的数量

Steiner 四元系（简记为 $SQS(n)$）是一个对 $(X,B)$，其中 $|X|=n$ 且 $B$ 是由 4 元素区组构成的集合，使得 $X$ 的每一个 3 子集恰好包含在 $B$ 的唯一一个成员中。Hanani \cite{Hanani} 证明了阶数为 $n$ 的 Steiner 四元系存在的必要条件 $n\ {\rm mod}\ 6= 2\ {\rm or}\ 4$ 也是充分的。Lenz \cite{Lenz} 证明了不同 $SQS(n)$ 数量的对数大于 $cn^3$，其中 $c>0$ 是常数且 $n$ 是容许的。我们证明了当 $n\rightarrow\infty$ 且 $n\ {\rm mod}\ 6= 2\ {\rm or}\ 4$ 时，不同 $SQS(n)$ 数量的对数为 $\Theta(n^3\ln n)$。