加权 Berezin 变换的范数

我们考虑如下加权 Berezin 变换：$$B_{\alpha} : L^{\infty} (\mathbb{B}^n) \to \ \mathcal{B},\quad \alpha>-1,$$ 对 $f \in L^{\infty} \left( \mathbb{B}^n \right)$ 与 $z \in \mathbb{B}^n$，定义为 $$(B_\alpha f) (z) = c_\alpha \int_{\mathbb{B}^n} \frac{\left( 1-|z|^2 \right)^{n+1}}{|1 - \langle z, w \rangle|^{2n+2}} f(w) \left( 1-|w|^2 \right)^\alpha \ d v(w),$$ 其中 $c_{\alpha} = \frac{\Gamma(\alpha+n+1)}{\Gamma(\alpha+1)\pi^n}$ ，$v$ 为 Lebesgue 测度，$\mathcal{B}$ 为 Bloch 型空间。我们证明 $B_{\alpha}$ 有界当且仅当 $\alpha>0$，并给出 $0\leq\alpha \leq 2n+3$ 时 $B_\alpha$ 的精确半范数。