关于 $\mathbb R^3$ 和 $\mathbb R^4$ 中 $k$-reptile 单形的不存在性

如果一个 $d$ 维单形 $S$ 能被 $k$ 个内部不相交、且彼此全等并与 $S$ 相似的单形平铺，则称其为 $k$-reptile（或 $k$-reptile 单形）。对于 $d=2$，三角形 $k$-reptile 存在于所有形如 $a^2, 3a^2$ 或 $a^2 + b^2$ 的 $k$，且已被 Snover、Waiveris 和 Williams 完全刻画。另一方面，对于 $d \ge 3$ 已知的唯一 $k$-reptile 单形满足 $k = m^d$，其中 $m$ 为正整数。我们大幅简化了 Matoušek 与第二作者关于 $d=3$ 时 $k$-reptile 四面体仅能存在于 $k=m^3$ 的证明。然后我们通过证明四维 $k$-reptile 单形仅能存在于 $k=m^2$，给出了该结果在 $d=4$ 时的一个较弱类比。