关于多项式条件数最小值的研究

1993年，Shub 和 Smale 提出寻找次数为 $N$ 的单变量多项式序列且其条件数以上界 $N$ 为界的问题。在 C. Beltán、U. Etayo、J. Marzo 和 J. Ortega-Cerdà 的先前论文中，证明了条件数的最优值形式为 $O(\sqrt{N})$，并且 Shub 和 Smale 所要求的序列由闭式公式（对于足够大的 $N\geqslant N_0$，其中 $N_0$ 未知）给出，其余情况由搜索算法描述。本文中，我们给出了隐藏在 $O(\sqrt{N})$ 项中的常数的具体估计，并描述了一个简单公式，用于构造条件数至多为 $N$ 的多项式序列，该公式对所有 $N=4M^2$ 成立，其中 $M$ 为正整数。