关于Colless指数的最小值及达到该值的分叉树
种群与进化
2020-02-18 v2 离散数学
组合数学
摘要
树平衡性度量在系统发育树分析中起着重要作用。在这方面最古老且最流行的指数之一是由Colless（1982）引入的针对有根分叉树的Colless指数。尽管其在不同系统发育树概率模型下的许多统计性质已被确立，但关于其最小值及达到该值的树所知甚少。在本稿件中，我们填补了文献中的这一空白。首先，我们推导了具有片叶的树的最小Colless指数的递归与闭式表达式。令人惊讶的是，这些表达式揭示了最小Colless指数与所谓Blancmange曲线（一种分形曲线）之间的联系。随后我们完全刻画了达到该最小值的树形，并引入了生成它们的算法以及计数它们的递推式。在聚焦于两类具有最小Colless指数的极端树（最大平衡树与自底贪婪树）之后，我们最后证明所有具有最小Colless指数的树同时也具有最小的Sackin指数，另一流行的平衡指数。
引用
@article{arxiv.1907.05064,
title = {On the minimum value of the Colless index and the bifurcating trees that achieve it},
author = {Tomás M. Coronado and Mareike Fischer and Lina Herbst and Francesc Rosselló and Kristina Wicke},
journal= {arXiv preprint arXiv:1907.05064},
year = {2020}
}
备注
61 pages. This paper is the result of merging our previous preprints arXiv:1903.11670 [q-bio.PE] and arXiv:1904.09771 [math.CO] into a single joint manuscript. Several proofs are new