关于 stairs2 指数的最大值

树平衡的度量在数学系统发育学或理论计算机科学等不同研究领域中扮演着重要角色。一棵树的平衡性通常用一个称为平衡或不平衡指数的单一数值来量化，文献中存在若干此类指数。本文聚焦于有根二叉树的 stairs2 平衡指数，该指数最初在病毒系统发育学背景下引入，但尚未从数学角度得到充分分析。已知对于所有叶数，毛毛虫树唯一地使 stairs2 指数最小化，而对于为 2 的幂的叶数，完全平衡树唯一地使 stairs2 指数最大化，但理解任意叶数下的最大值及最大化树仍是文献中的一个开放问题。在本笔记中，我们填补了这一空白，证明对于所有叶数，存在唯一的有根二叉树使 stairs2 指数最大化。此外，我们得到了具有 $n$ 片叶子的有根二叉树的 stairs2 指数最大值的递推表达式和闭式表达式。