有根二叉树 Colless 平衡指数的极值性质

树的平衡度量在不同研究领域（例如系统发育学）中起着重要作用。在系统发育学中，它们被用于检验观测到的系统发育树是否与物种形成的 Yule 模型生成的树显著不同。其中最流行的指数之一是 Colless 指数，它度量有根二叉树的平衡程度。尽管 Colless 指数的许多统计性质（例如在不同物种形成模型下其均值与方差的渐近结果）已在各类语境中被讨论，我们聚焦于其极值性质。虽然刻画具有最大 Colless 指数的树相对直接，但对 Colless 指数最小值的分析以及达到该值的树的刻画则复杂得多。因此在本注记中，我们关注任意给定叶子数下 Colless 指数的最小值。我们推导了该最小值的一个递推公式以及显式表达式，后者揭示了 Colless 指数与所谓 Blancmange 曲线（亦称 Takagi 曲线的分形曲线）之间的惊人联系。此外，我们刻画了两类具有最小 Colless 指数的树，包括所谓的最大平衡树集合以及我们称之为自底贪婪树的一类树。进而，通过将这类树与具有最小 Sackin 指数（另一被广泛研究的树平衡指数）的树相关联，我们推导了具有最小 Colless 指数树数量的上界。