Sackin树平衡指数的极值

树平衡在理论计算机科学和数学生物系统发生学等不同研究领域中起着重要作用。例如，长期以来已知在Yule模型（一个纯出生过程）下，不平衡树比平衡树更可能出现。此外，关于有序搜索树，更平衡的树比不平衡的树允许更高效的数据结构。因此，人们引入了不同的方法来度量树的平衡性。Sackin指数是用于此目的最频繁使用的度量之一。在许多语境中，关于该指数的最小值和最大值的陈述已被讨论，但形式化证明仅针对其中部分情形给出，且仅在有序二叉（搜索）树的语境下，而非一般根树。此外，虽然具有最大Sackin指数的树的数量以及当叶子数为2的幂时具有最小Sackin指数的树的数量相对容易理解，但对于所有其他叶子数具有最小Sackin指数的树的数量此前完全未知。在本稿中，我们将文献中关于具有最小和最大Sackin指数的有序树的结论加以推广，随后利用我们的结果给出显式计算此类树数量的公式。我们还将先前的研究扩展至底层树不必为二叉树的情形。最后，我们利用我们的结果，通过使用关于Sackin最小和最大树的新发现，推导计算二叉与非二叉设定下最小和最大系统发生树以及最小和最大有序树数量的公式，从而同时贡献于系统发生学和计算机科学文献。我们的所有结果已在Mathematica包SackinMinimizer中实现，该包已公开可用。