关于三维有界 Lipschitz 域上 Navier--Stokes 方程的 $\mathrm{L}^p$ 理论

在有界 Lipschitz 域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$, $d \geq 3$ 上，我们继续 Shen 以及 Kunstmann 和 Weis 关于 $\mathrm{L}^p_{\sigma} (\Omega)$ 上 Stokes 算子的研究。我们利用他们的结果，在 $\lvert \frac{1}{p} - \frac{1}{2} \rvert < \frac{1}{d} + \varepsilon$ 且对某个 $\varepsilon > 0$ 成立的条件下，将 Stokes 算子平方根的定义域确定为空间 $\mathrm{W}^{1 , p}_{0 , \sigma} (\Omega)$。这一刻画给出了相应半群的梯度估计以及 $\mathrm{L}^p$-$\mathrm{L}^q$ 映射性质。在三维情形下，这提供了一种方法，证明当初始速度在 $\mathrm{L}^3$ 范数下足够小时，Navier--Stokes 方程在临界空间 $\mathrm{L}^{\infty} (0 , \infty ; \mathrm{L}^3_{\sigma} (\Omega))$ 中解的存在性。最后，我们利用 Kunstmann 和 Weis 证明的最大正则性，提出了一种研究 Navier--Stokes 方程 $\mathrm{L}^p$ 理论的不同方法。