关于 Lamb-Chaplygin 偶极子的线性稳定性

Lamb-Chaplygin 偶极子（Lamb1895, Lamb1906, Chaplygin1903）是二维 Euler 方程少数具有连续涡量分布的闭式相对平衡解之一。我们考虑其关于二维保环量扰动的线性稳定性问题。研究表明该流动是线性不稳定的，尽管这种不稳定性的本质十分微妙，若不考量问题的无限维特性便无法完全理解。为阐明这一点，我们首先推导了定义在涡核内的线性化 Euler 方程的便利形式，该形式考虑了涡核外的势流，同时能够追踪涡旋区域的形变。流动的线性稳定性随后由相应算子的谱决定。对相关特征值问题的渐近分析表明，存在以局域于涡边界附近的短波振荡形式出现的近似特征函数，这些发现通过特征值问题的数值求解得到证实。然而，二维 Euler 系统的时间积分仅揭示出一个线性不稳定特征模，并且由于相应特征值嵌入于算子的本质谱中，该不稳定特征模也被证明是一种以短波振荡为特征的广义分布而非光滑函数。这些发现与关于二维 Euler 流中平衡态稳定性的已知一般结果一致，并已通过采用不同数值分辨率与算术精度的计算加以验证。