关于Sturmian词的Lie复杂度

Bell 和 Shallit 最近将无限词 $s$ 的 Lie 复杂度引入为如下函数：对每一长度，统计其所有元素均为 $s$ 的因子的词的共轭类个数。他们利用代数技巧证明，Lie 复杂度由上界为因子复杂度的前向差分加一；因此，对于具有线性因子复杂度的词，它是一致有界的，特别地，对于 Sturmian 词至多为其因子复杂度 $n+1$（对每个 $n$）的 2。在本注记中，我们给出 Bell 和 Shallit 结果的初等的组合证明，并给出任意 Sturmian 词 Lie 复杂度的精确公式。