关于稀疏 Barak-Erdős 图中最短路径的长度

我们考虑 Barak-Erd\H{o}s 图的一个非均匀版本，即顶点集为 $\{1,\ldots,n\}$ 且无环的有向 Er\H{o}s-R\'enyi 随机图。给定 $f$ 为 $[0,1]^2$ 上黎曼可积的非负函数且 $\gamma > 0$，我们定义 $G(n,f,\gamma)$ 为顶点集 $\{1,\ldots,n\}$ 的随机图，使得对每个 $i < j$，有向边 $(i,j)$ 以概率 $p_{i, j}^{(n)} = \frac{f(i/n,j/n)}{n^\gamma}$ 出现，且独立于任何其他边。我们记 $L_n$ 为顶点 $1$ 与 $n$ 之间最短路径的长度，并关注当 $n \to \infty$ 时 $L_n$ 的渐近行为。