关于零维 Weil 下降系统的末次跌落次数

在本文中，我们将讨论一种求解（零维）多项式系统的新的、主要理论性的方法，它介于 Gr\"obner 基计算与启发式首次跌落次数假设之间，且不基于任何启发式。该方法依赖于末次跌落次数这一新概念。设 $k$ 为基数 $q^n$ 的有限域，$k'$ 为其基数 $q$ 的子域。令 $\mathcal{F} \subset k[X_0,\ldots,X_{m-1}]$ 为生成零维理想的有限子集。我们给出了 $\mathcal{F}$ 的 Weil 下降系统的末次跌落次数的上界，它依赖于 $q$、$m$、$\mathcal{F}$ 的末次跌落次数、$\mathcal{F}$ 的次数以及 $\mathcal{F}$ 的解的个数，但不依赖于 $n$。这表明若 $n$ 增大，此类 Weil 下降系统可被高效求解。特别地，我们将这些结果应用于 multi-HFE，并本质上表明 multi-HFE 是不安全的。最后，我们讨论到，源自求和多项式以求解椭圆曲线离散对数问题的 Weil 下降系统的正则度（或末次跌落次数）可能依赖于 $n$，因为此类无域方程系统不是零维的。