半局部多项式系统的最终下降次数

我们研究了有限域上定义的半局部多项式系统的最终下降次数，以及求解此类系统闭点解与有理点解的计算复杂性。半局部多项式系统指定了一个代数集，该代数集是若干局部仿射代数集的直积在全局线性变换下的像。作为一个特殊但有趣的例子，由低维仿射空间中代数集的Weil限制所导出的多项式系统是半局部的。由于其在密码学中的应用，此类系统已受到相当关注。我们的主要结果根据闭点解的个数给出了半局部多项式系统最终下降次数的上界，并给出了当有限域的素数特征与有理解个数较小时寻找所有有理点解的高效算法。我们关于求解半局部系统的结果改进了先前已知的针对HFE（Hidden Field Equations，隐藏域方程）密码系统的多项式时间攻击。我们结果中隐含的攻击可推广至基于半局部系统的公钥加密函数，其中要么闭点解个数较小，要么域的特征较小。在具有大素数特征且闭点解个数呈指数级的有限域上基于半局部系统构造公钥密码系统仍是可行的。本文给出了这样的方法，随后给出了涉及多项式同构（IP）问题的进一步密码分析，以及一个能抵御本文所讨论所有攻击的具体公钥加密方案。