凸紧可度量集上的 Krein-Milman-Ky Fan 定理

Krein-Milman 定理（1940）指出，Hausdorff 局部凸拓扑空间的每个凸紧子集都是其极点的闭凸包。1963年，Ky Fan 将 Krein-Milman 定理推广到 $\Phi$-凸性的一般框架。在函数类 $\Phi$ 的一般条件下，Krein-Milman-Ky Fan 定理断言，Hausdorff 空间的每个紧 $\Phi$-凸子集都是其 $\Phi$-极点的 $\Phi$-凸包。我们在本文中证明，在可度量情形下情况更好。事实上，我们可以用更小的 $\Phi$-暴露点子集来替代 $\Phi$-极点集。我们在函数类 $\Phi$ 的一般条件下确立，Hausdorff 空间的每个 $\Phi$-凸紧可度量子集都是其 $\Phi$-暴露点的 $\Phi$-凸包。作为推论，我们得到 Banach 空间（分别对偶 Banach 空间）的每个凸弱紧可度量（分别对应凸弱$^*$紧可度量）子集都是其暴露点的闭凸包（分别对应其弱$^*$暴露点的弱$^*$闭凸包）。这一结果对于不可度量的紧 $\Phi$-凸子集一般不成立。