关于最小耦合电磁场的点粒子的哈密顿方法与路径积分

我们从哈密顿方法出发，{\em 推导}了平直时空中任何量子力学系统的精确位形空间路径积分及其求值方法，该系统的哈密顿量至多包含两个动量算符。从给定的协变或非协变哈密顿量出发，通过引入傅里叶模式，我们从时间离散化路径积分过渡到连续路径积分。我们通过证明相关级数一致收敛，证明了微扰展开（“费曼图”）中各项在$N \rightarrow \infty$极限下存在。$<x| \exp (- \Delta t \hat{H} / \hbar) |y>$中指数展开的{\em 所有}项都对传播子有贡献（即使在$\Delta t$阶！）。然而，在时间离散化路径积分中，$\hat{H}^2$及更高阶项的唯一作用是抵消那些在$N \rightarrow \infty$时看似消失但实际上非零的项。最终结果表明，哈密顿方法与拉格朗日方法之间的朴素对应关系终究是正确的。我们以耦合电磁场的点粒子为例进行了详细计算，分别用哈密顿方法和路径积分方法计算了传播子至$(\Delta t)^2$阶，并发现两者一致。