扩展的Hamilton-Lagrange形式及其在相对论量子物理Feynman路径积分中的应用

本文将提出关于扩展Hamilton-Lagrange形式基础的一致且全面的论述。在该形式中，系统的动力学沿系统演化参数$s$参数化，物理时间$t$被视为一个依赖变量$t(s)$，与所有其他位形空间变量$q^{i}(s)$处于同等地位。在作用量原理中，传统的经典作用量$L dt$被替换为广义作用量$L_{e}ds$，其中$L$和$L_{e}$分别表示传统和扩展拉格朗日量。研究表明，存在一类扩展拉格朗日量$L_{e}$，它们与相应的传统拉格朗日量$L$相关，但并非速度的齐次函数。那么，$L_{e}$的勒让德变换到扩展哈密顿量$H_{e}$是存在的。利用这类扩展哈密顿量，提出了一个与传统哈密顿形式完全类似的扩展正则形式。物理时间$t$和传统哈密顿量的负值则构成另一对共轭正则变量。扩展形式还包括一个扩展正则变换理论，其中时间变量$t(s)$也参与变换。在扩展形式中，系统的动力学被描述为在偶数维扩展相空间中的一个超曲面上的运动。利用扩展拉格朗日量$L_{e}$，证明了广义路径积分方法得到Klein-Gordon方程作为相应的量子描述。此外，还将推导自由相对论粒子的时空传播子。这些结果可被视为Feynman路径积分方法在量子物理中相对论性推广的原理证明。