基于扩展拉格朗日函数的费曼路径积分的相对论化推广

在经典点动力学的扩展拉格朗日形式中，系统的动力学沿着演化参数 $s$ 进行参数化，物理时间 $t$ 被当作依赖变量 $t(s)$ 与所有其他配置空间变量 $q^{i}(s)$ 一律对待。在作用原理中，传统的经典作用 $L dt$ 然后被取代为广义作用 $L_{\e}ds$。假设两个拉格朗日函数描述相同的物理系统then提供了 $L$ 与 $L_{\e}$ 的关联。在现有文献中，讨论仅限于那些是速度的一阶齐次形式的扩展拉格朗日 $L_{\e}$。作为一个新结果，被证明存在一类扩展拉格朗日 $L_{\e}$ 与相应的传统拉格朗日 $L$ 关联，却不齐次地是速度的函数。通过这些扩展拉格朗日，系统的动力学描述为在维数为偶数的symplectic扩展相空间中的超曲面上的运动。由于传统和扩展拉格朗日形式的形式相似性，费曼的非相对论路径积分方法可以转化为适用于相对论量子物理的形式。为了提供一个例子，将给出经典相对论点粒子在外部电磁场中的非齐次扩展拉格朗日 $L_{\e}$。这种扩展拉格朗日具有速度平方函数的显著性质。通过这个 $L_{\e}$，被证明广义路径积分方法产生的量子描述为Klein-Gordon方程。这个结果可被视为费曼路径积分方法相对论化推广的原理性证明。