论簇的 Grothendieck 环

令 $\operatorname{K}_0(\operatorname{Var}_k)$ 表示代数闭域 $k$ 上 $k$-簇的 Grothendieck 环。Larsen 和 Lunts 提出疑问：在 $\operatorname{K}_0 (\operatorname{Var}_k)$ 中具有相同类的两个 $k$-簇是否分段同构？Gromov 则询问 $k$-簇的双有理自映射是否可以扩展为分段自同构。我们证明了这两个问题在任何代数闭域上都是等价的。如果这两个问题得到肯定回答，那么我们证明其底层的阿贝尔群是一个自由阿贝尔群。此外，若 $\mathfrak B$ 表示不可约 $k$-簇的双有理等价类的乘法幺半群，则我们还证明了 Grothendieck 环的关联分次环即为幺半群环 $\mathbb Z[\mathfrak B]$。